Question

如圖的倒三角形數(shù)陣滿足：（1）第1行的n個數(shù)分別是1，3，5，…，2n-1；（2）從第二行起，各行中的每一個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和；（3）數(shù)陣共有n行．問：當(dāng)n=2012時，第32行的第17個數(shù)是    ．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)第k行的第一個數(shù)為a_k，則a₁=1，a₂=4=2a₁+2，，，…，歸納，得（k≥2，且k∈N^*），故a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，且公差依次為：2，2²，…，2^k，…，由此能求出第32行的第17個數(shù)．
解答：解：設(shè)第k行的第一個數(shù)為a_k，
則a₁=1，
a₂=4=2a₁+2，
，
，
…
由以上歸納，得（k≥2，且k∈N^*），
∴，即，
∴數(shù)列{}是以=為首項，以為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴a_n=n•2^n-1（n∈N^*）．
由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，
且公差依次為：2，2²，…，2^k，…
第n行的首項為a_n=n•2^n-1（n∈N^*），公差為2ⁿ，
∴第32行的首項為=2³⁶，公差為2³²，
∴第32行的第17個數(shù)是2³⁶+16×2³²=2³⁷．
故答案為：2³⁷．
點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，合理地總結(jié)規(guī)律，注意歸納法和構(gòu)造法的合理運用．