Question

13．記等比數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，已知a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b₁=3，b_n+1-3b_n=3a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和B_n；
（3）刪除數(shù)列{a_n}中的第3項，第6項，第9項，…，第3n項，余下的項按原來的順序組成一個新數(shù)列，記為{c_n}，{c_n}的前n項和為T_n，若對任意n∈N^*，都有$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞a，試求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （1）由a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，可得${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=30，3S₁+S₃=2×2S₂，化簡解出利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）由b_n+1-3b_n=3a_n=3ⁿ⁺¹，變形為$\frac{_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{3}^{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項公式可得b_n，再利用“錯位相減法”與等比數(shù)列的求和公式可得B_n．
（3）由題意可得：c_2n-1=a_3n-2=3^3n-2，c_2n=a_3n-1=3^3n-1，可得c_2n-1+c_2n=3^3n-2+3^3n-1=$\frac{4}{9}$×27ⁿ．對n分類討論即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁+a₃=30，3S₁，2S₂，S₃成等差數(shù)列，
∴${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=30，3S₁+S₃=2×2S₂，化為：3a₂=a₃，解得q=3，a₁=3．∴a_n=3ⁿ．
（2）∵b_n+1-3b_n=3a_n=3ⁿ⁺¹，∴$\frac{_{n+1}}{{3}^{n+1}}$-$\frac{_{n}}{{3}^{n}}$=1．
∴數(shù)列$\{\frac{_{n}}{{3}^{n}}\}$是等差數(shù)列，公差為1，首項為1．
∴$\frac{_{n}}{{3}^{n}}$=1+（n-1）=n，∴b_n=n•3ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和B_n=3+2×3²+…+n•3ⁿ，
3B_n=3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
∴-2B_n=3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-n•3ⁿ⁺¹=$\frac{1-2n}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴B_n=$\frac{2n-1}{4}$×3ⁿ⁺¹+$\frac{3}{4}$．
（3）由題意可得：c_2n-1=a_3n-2=3^3n-2，c_2n=a_3n-1=3^3n-1，
∴n=2k（k∈N^*）時，c_2n-1+c_2n=3^3n-2+3^3n-1=$\frac{4}{9}$×27ⁿ．
T_n=T_2k=$\frac{4}{9}$×$\frac{27（2{7}^{n}-1）}{27-1}$=$\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}$．
n=2k-1時，T_n=T_2k-1=T_2k-3^3n-1=$\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}$-3^3n-1=$\frac{5×{3}^{3n-1}-6}{13}$．
因此：n=2k（k∈N^*）時，$\frac{{T}_{2k+1}}{{T}_{2k}}$=$\frac{\frac{5×{3}^{3n+2}-6}{13}}{\frac{6（{3}^{3n}-1）}{13}}$=$\frac{15}{2}$+$\frac{13}{2}×\frac{1}{2{7}^{n}-1}$∈$（\frac{15}{2}，\frac{31}{4}]$．
n=2k-1（k∈N^*）時，$\frac{{T}_{2k}}{{T}_{2k-1}}$=$\frac{\frac{6（2{7}^{n}-1）}{13}}{\frac{5×{3}^{3n-1}-6}{13}}$=$\frac{18}{5-\frac{13}{2{7}^{n}-1}}$∈$（\frac{18}{5}，4]$．
綜上可得：$\frac{{T}_{n+1}}{{T}_{n}}$＞$\frac{18}{5}$．∴a的最大值為$\frac{18}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式及其求和公式、“錯位相減法”方法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．