Question

18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-2．
（Ⅰ）求C₁和C₂在直角坐標(biāo)系下的普通方程；
（Ⅱ）已知直線l：y=x和曲線C₁交于M，N兩點(diǎn)，求弦MN中點(diǎn)的極坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）消調(diào)參數(shù)θ，即可得到普通方程，由極坐標(biāo)方程即可直接得到普通方程；
（Ⅱ）根據(jù)韋達(dá)定理，即可求出弦MN中點(diǎn)的坐標(biāo)，再化為極坐標(biāo)即可．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}x=1+cosθ\\ y=2+sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x-1=cosθ\\ y-2=sinθ\end{array}\right.$，得 （x-1）²+（y-2）²=cos²θ+sin²θ=1，
所以C₁的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=1．
因?yàn)閤=ρcosθ，所以C₂的普通方程為x=-2．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{（{x-1}）^2}+{（{y-2}）^2}=1\\ y=x\end{array}\right.$，
得x²-3x+2=0，
$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{2}$，弦MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，代入y=x得縱坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$，
弦MN中點(diǎn)的極坐標(biāo)為：$（{\frac{3}{2}\sqrt{2}，\frac{π}{4}}）$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了把極坐標(biāo)方程及參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化方法，屬于基礎(chǔ)題．