Question

7．已知點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD邊界上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M在以P為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值為1+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，可得A，B，C，D的坐標(biāo)，設(shè)M（m，n），運(yùn)用數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=m（m-2）+n（n-2）=（m-1）²+（n-1）²-2，運(yùn)用幾何意義：距離的平方，即可得到所求最大值．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，
建立直角坐標(biāo)系，可得A（0，0），B（2，0），C（2，2），D（0，2），
設(shè)M（m，n），則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$=（-m，-n）•（2-m，2-n）=m（m-2）+n（n-2）
=（m-1）²+（n-1）²-2
要求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值，
即求點(diǎn)（m，n）與點(diǎn)E（1，1）的距離的平方的最大值．
由圖象可得，當(dāng)P在點(diǎn)A，B，C，D時(shí)，連接PE，延長(zhǎng)交圓于M，即為所求．
此時(shí)，|PM|=1+$\sqrt{2}$，
即有$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MC}$的最大值為（1+$\sqrt{2}$）²-2=1+2$\sqrt{2}$．
故答案為：1+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的數(shù)量積的最值的求法，考查坐標(biāo)法的運(yùn)用以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．