Question

5．已知函數(shù)f（x）=a（x-1）-2lnx（a≥0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無(wú)零點(diǎn)，即可求實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x-1-2lnx，定義域（0，+∞）…（1分）
${f^'}（x）=1-\frac{2}{x}$，..…（2分）
令f'（x）＞0得x＞2，..…（3分）
令f'（x）＜0得0＜x＜2..…（4分）
因此，函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，2）；…（5分）
（Ⅱ）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=-2lnx，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，且f（x）＞f（1）=0，
所以a=0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無(wú)零點(diǎn)；…（7分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0得$x=\frac{2}{a}$，
令f'（x）＞0得$x＞\frac{2}{a}$，令f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{2}{a}$，
因此，函數(shù)f （x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{2}{a}，+∞）$，單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{a}）$…（9分）
（ⅰ）當(dāng)$\frac{2}{a}≥1$即0＜a≤2時(shí)，
函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），所以f（x）＞f（1）=0，
所以0＜a≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上無(wú)零點(diǎn)；…（11分）
（ii）當(dāng)$\frac{2}{a}＜1$即a＞2時(shí)，
函數(shù)f （x）的單調(diào)遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{a}）$，單調(diào)遞增區(qū)間是$（\frac{2}{a}，1）$．
所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{2}{a}）＜f（1）=0$且$f（\frac{1}{e^a}）=a+\frac{a}{e^a}＞0$，
所以a＞2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上有零點(diǎn)，不成立，…（12分）
所以0≤a≤2，
綜上實(shí)數(shù)a的最大值是2．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點(diǎn)，正確求導(dǎo)是關(guān)鍵．