Question

16．在△ABC中，已知角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且$\frac{sinA-sinC}{b-c}$=$\frac{sinB}{a+c}$，則函數(shù)f（x）=cos²（$\frac{x}{2}$+A）-sin²（$\frac{x}{2}$-A）在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3}{2}$π]上的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，π]．

Answer 1

分析 由已知等式利用正弦定理把角的正弦轉(zhuǎn)化為邊，整理，利用余弦定理可求得cosA的值，進(jìn)而求得A．代入函數(shù)解析式利用二倍角公式整理，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，與已知區(qū)間求交集即可．

解答 解：由$\frac{sinA-sinC}{b-c}$=$\frac{sinB}{a+c}$，
利用正弦定理可得$\frac{a-c}{b-c}$=$\frac{a+C}$，
所以a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得cosA=$\frac{1}{2}$，又A為△ABC的內(nèi)角，
所以A=$\frac{π}{3}$，
所以f（x）=cos²（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$）-sin²（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$）=$\frac{1+cos（x+\frac{2π}{3}）}{2}$-$\frac{1-cos（x-\frac{2π}{3}）}{2}$=-$\frac{1}{2}$cosx，
令2kπ≤x≤2kπ+π（k∈Z），與[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$]取交集得所求遞增區(qū)間是[0，π]．
故答案為：[0，π]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理和余弦定理，即三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．綜合考查了學(xué)生推理和運(yùn)算的能力．