Question

已知奇函數(shù)f（x）是定義在R上的增函數(shù)，數(shù)列{x_n}是一個公差為2的等差數(shù)列，滿足f（x₈）+f（x₉）+f（x₁₀）+f（x₁₁）=0，則x₂₀₁₃的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：設(shè)x₈=a，則x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，則f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點的對稱性可知，f（a）+f（a+6）=0，f（a+2）+f（a+4）=0．所以f（a+3）=0=f（0），x₈=-3．設(shè)數(shù)列{x_n}通項x_n=x₁+（n-1）．x₈=x₁+14=-3．x₁=-17．通項x_n=2n-19．由此能求出x₂₀₁₃的值．

解答： 解：設(shè)x₈=a，則x₉=a+2，x₁₀=a+4，x₁₁=a+6，
∴f（a）+f（a+2）+f（a+4）+f（a+6）=0，
且f（a）＜f（a+2）＜f（a+4）＜f（a+6），
∴f（a）＜0且f（a+6）＞0．
結(jié)合奇函數(shù)關(guān)于原點的對稱性可知，f（a）+f（a+6）=0，
f（a+2）+f（a+4）=0．
∴f（a+3）=0=f（0），
即a+3=0．
∴x₈=-3．
設(shè)數(shù)列{x_n}通項x_n=x₁+2（n-1）．
∴x₈=x₁+14=-3．
∴x₁=-17．
∴通項x_n=2n-19．
∴x₂₀₁₃=2×2013-19=4007．
故答案為：4007．

點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意遞推公式的合理運用．