Question

已知函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（2）f（x₀）=

16

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，求cos2x₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式為f（x）═2sin（2x+

π

6

）+2，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間．
（2）由f（x₀）=

16

5

，求得sin（2x₀+

π

6

）的值，可得cos（2x₀+

π

6

）的值，再根據(jù) cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]，利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+1=

3

sin2x+cos2x+2=2sin（2x+

π

6

）+2，
故函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）∵f（x₀）=2sin（2x₀+

π

6

）+2=

16

5

，∴sin（2x₀+

π

6

）=

3

5

，x₀∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x₀+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，∴cos（2x₀+

π

6

）=-

4

5

，
∴cos2x₀=cos[（2x₀+

π

6

）-

π

6

]=cos（2x₀+

π

6

）cos

π

6

-sin（2x₀+

π

6

）sin

π

6

=-

4

5

×

3

2

-

3

5

×

1

2

=-

4 3 +3

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角恒等變換、正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．