Question

3．對于定義域D的函數(shù)f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內單調遞增或單調遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）為在D上的閉函數(shù)．
（Ⅰ）求閉函數(shù)y=x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）=$\frac{3}{4}$x+$\frac{1}{x}$（x＞0）是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（Ⅲ）判斷函數(shù)y=k+$\sqrt{x+2}$是否為閉函數(shù)？若是閉函數(shù)，求實數(shù)K的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，解$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得到x的解便可得到區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）根據(jù)閉函數(shù)的定義知，f（x）在定義域內具有單調性，通過求導，根據(jù)導數(shù)符號，即可判斷f（x）在定義域內沒有單調性，從而不是閉函數(shù)；
（Ⅲ）若該函數(shù)為閉函數(shù)，需滿足閉函數(shù)的兩個條件，容易得出滿足第一個條件，從而只需滿足第二個條件，也就是讓方程x-k=$\sqrt{x+2}$有解，從而有$\left\{\begin{array}{l}{x≥k}\\{{x}^{2}-2kx+{k}^{2}=x+2}\end{array}\right.$，根據(jù)函數(shù)定義域為[-2，+∞），以及一元二次方程有兩個不同解時△的取值即可得出實數(shù)k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{3}}\\{y=x}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$；
∴區(qū)間[a，b]為：[-1，0]，[-1，1]，或[0，1]；
（Ⅱ）$f′（x）=\frac{3}{4}-\frac{1}{{x}^{2}}=\frac{3（{x}^{2}-\frac{4}{3}）}{4{x}^{2}}$；
∴$x∈（0，\frac{2}{\sqrt{3}}）$時，f′（x）＜0，x$∈（\frac{2}{\sqrt{3}}，+∞）$時，f′（x）＞0；
∴f（x）在定義域（0，+∞）上沒有單調性；
∴f（x）不是閉函數(shù)；
（Ⅲ）可看出該函數(shù)在定義域[-2，+∞）上為增函數(shù)，這滿足了閉函數(shù)的第一個條件；
要是閉函數(shù)，還需滿足第二個條件；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k+\sqrt{x+2}}\\{y=x}\end{array}\right.$得，$x-k=\sqrt{x+2}$（1），該方程需有解；
首先x≥k恒成立；
∴k≤-2；
對（1）式兩邊平方并整理得：x²-（2k+1）x+k²-2=0；
該方程有兩個不同解，∴△=（2k+1）²-4（k²-2）＞0；
解得$k＞-\frac{9}{4}$；
∴$-\frac{9}{4}＜k≤-2$；
∴實數(shù)k的取值范圍為（$-\frac{9}{4}$，-2]．

點評 考查對閉函數(shù)定義的理解，知道滿足閉函數(shù)的第二個條件時，需滿足該函數(shù)和y=x至少有兩個交點，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法，一元二次方程有解時判別式△的取值情況，不要漏了x≥k的條件．