Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點(diǎn)F（4，0）、與y軸正半軸交于點(diǎn)E（0，4），邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的頂點(diǎn)D與原點(diǎn)O重合，頂點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，頂點(diǎn)C與點(diǎn)F重合；
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線與邊AB交于點(diǎn)P且同時(shí)與邊CD交于點(diǎn)Q．設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n）
①當(dāng)PO=PF時(shí)，分別求出點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)及PF所在直線l的函數(shù)解析式；
②當(dāng)n=2時(shí)，若P為AB邊中點(diǎn)，請(qǐng)求出m的值；
（3）若點(diǎn)B在第（2）①中的PF所在直線l上運(yùn)動(dòng)，且正方形ABCD與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,數(shù)形結(jié)合,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由拋物線過E（0，4），F(xiàn)（4，0），代入拋物線方程求得系數(shù)a、c．可得拋物線方程；
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，由圖象P的橫坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線上求得其縱坐標(biāo)；由正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，求得Q的縱坐標(biāo)為-1，代入拋物線方程求其橫坐標(biāo)；
②當(dāng)n=2時(shí)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，根據(jù)P在拋物線上，得P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），結(jié)合圖形求得m值；
（3）由A（m，n）可得CD直線方程與B點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．

解答： 解：（1）由拋物線過E（0，4），F(xiàn)（4，0），
則

16a+c=0 c=4

⇒

a=- 1 4 c=4

，
∴拋物線的方程為y=-

1

4

x²+4；
（2）①過點(diǎn)P作PG⊥x軸于點(diǎn)G，∵PO=PF，∴OG=FG，
∵F（4，0），∴OF=4，∴OG=

1

2

PF=

1

2

×4=2，即點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，
∵P在拋物線上，∴y=-

1

4

×4+4=3，即P（2，3），
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，∴Q的縱坐標(biāo)為-1，
又Q在拋物線上，∴-1=-

1

4

x²+4⇒x=2

5

或-2

5

（舍去），
∴Q（2

5

，-1）；
K_PF=

-3

2

，∴PF所在直線l的函數(shù)解析式為y=-

3

2

（x-4）；
②當(dāng)n=2時(shí)，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為2，∵P在拋物線上，∴P（2

2

，2）或P（-2

2

，2），
∵P為AB的中點(diǎn)，∴AP=2，
∴A（2

2

-2，2）或A（-2

2

-2，2），∴m的值為2

2

-2或-2

2

-2．
（3）假設(shè)B在M點(diǎn)時(shí)，C在拋物線上，A的橫坐標(biāo)是m，則B的橫坐標(biāo)是m+4，
代入直線PF的解析式得：y=-

3

2

（m+4）+6=-

3

2

m，
則B的縱坐標(biāo)是-

3

2

m，則C的坐標(biāo)是（m+4，-

3

2

m-4）．
把C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

（m+4）²+4，解得：m=-1-

17

或-1+

17

（舍去）；
當(dāng)B在E點(diǎn)時(shí)，AB經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，則E的縱坐標(biāo)是4，
把y=4代入y=-

3

2

x+6，得4=-

3

2

x+6，解得：x=

4

3

，
此時(shí)A的坐標(biāo)是（-

8

3

，4），E的坐標(biāo)是：（

4

3

，4），此時(shí)正方形與拋物線有3個(gè)交點(diǎn)．
當(dāng)點(diǎn)B在E點(diǎn)時(shí)，正方形與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)-1-

17

＜m＜-

8

3

；
當(dāng)點(diǎn)B在E和P點(diǎn)之間時(shí)，正方形與拋物線有三個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)：-

8

3

＜x＜-2；
當(dāng)B在P點(diǎn)時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；
假設(shè)當(dāng)B點(diǎn)在N點(diǎn)時(shí)，D點(diǎn)同時(shí)在拋物線上時(shí)，
同理，C的坐標(biāo)是（m+4，-

3

2

m-4），則D點(diǎn)的坐標(biāo)是：（m，-

3

2

m-4），
把D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：-

3

2

m-4=-

1

4

m²+4，解得：m=3+

41

或3-

41

（舍去），
當(dāng)B在F與N之間時(shí)，拋物線與正方形有兩個(gè)交點(diǎn)．此時(shí)0＜m＜3+

41

．
故m的范圍是：-1-

17

＜m＜-

8

3

或m=2或0＜m＜3+

41

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，考查了利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題，考查了學(xué)生分析解答問題的能力．