Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若h（x）=ln[f（x）+a]的定義域為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用絕對值的意義求得不等式的解集．
（2）由題意可得f（x）_min＞a，而由絕對值的意義求得f（x）_min=2，可得2＞-a，由此求得a的范圍．

解答 （1）不等式f（x）=|2x-1|+|2x-3|≤5，即|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|≤$\frac{5}{2}$．
|x-$\frac{1}{2}$|+|x-$\frac{3}{2}$|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$對應(yīng)點的距離之和，
而$\frac{9}{4}$ 和-$\frac{1}{4}$對應(yīng)點到$\frac{1}{2}$、$\frac{3}{2}$對應(yīng)點的距離之和正好等于$\frac{5}{2}$，
故不等式的解集為x∈[-$\frac{1}{4}$，$\frac{9}{4}$]．
（2）∵h(yuǎn)（x）=ln[f（x）+a]的定義域為R，∴f（x）＞-a恒成立，
故f（x）_min＞-a．而由絕對值的意義求得f（x）_min=2，∴2＞-a，
求得a＞-2，即a的取值范圍為（-2，∞）．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．