Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+ax²+b（a、b∈R）．
（1）要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，試求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時，試求f（x）的解析式，使f（x）的極大值為

31

27

，極小值為1；
（3）若x∈[0，1]時，f（x）圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，試求當(dāng)θ∈[0，

π

4

]時，a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，只需x∈（0，1）時，f′（x）＞0恒成立，利用分離參數(shù)法，即可求出a的范圍；
（2）由（1）中導(dǎo)函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)取極值時x的值，然后根據(jù)函數(shù)f（x）的極小值和極大值，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，解方程后即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知tanθ=f′（x），然后根據(jù)傾斜角為θ的范圍求出f′（x）的范圍在x∈[0，1]恒成立，將a分離出來，使之恒成立即可求出a的范圍．

解答： 解：（1）f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=-3x²+2ax，
要使f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，則當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0恒成立，
即-3x²+2ax＞0恒成立，a＞

3

2

x恒成立，則有a≥

3

2

；  
（2）由f′（x）=0得x=0或x=

2a

3

，

x	（-∞，0）	0	（0， 2 3 a）	2 3 a	（ 2a 3 ，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）		極小		極大

則f（0）=b=1，f（

2a

3

）=-

8

27

a³+a-

4

9

a²+1=

31

27

，則a=1．
故f（x）=-x³+x²+1；
（3）當(dāng)0≤x≤1時，tanθ=f′（x）=-3x²+2ax又θ∈[0，

π

4

]，
則0≤f′（x）≤1，即0≤-3x²+2ax≤1
在0≤x≤1時恒成立．當(dāng)x=0時，a∈R．
當(dāng)0＜x≤1時，由-3x²+2ax≥0恒成立，得a≥

3

2

x恒成立，a≥

3

2

，
由-3x²+2ax≤1恒成立，得a≤

1

2

(3x+

1

x

)恒成立．
又

1

2

（3x+

1

x

）的最小值為

3

，則a≤

3

．
綜上所述，

3

2

≤a≤

3

．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查靈活運用轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．