Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），圓O：x²+y²=r²（0＜r＜b），若圓O的一條切線l：y=kx+m與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）當(dāng)k=-$\frac{1}{2}$，r=1時(shí)，若點(diǎn)A，B都在坐標(biāo)軸的正半軸上，求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，探究a，b，r之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意原點(diǎn)O到切線l：y=-$\frac{1}{2}$x+m的距離為半徑1，⇒m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，⇒A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0）
代入橢圓方程，求出a、b即可
（2）由原點(diǎn)O到切線l：y=kx+m的距離為半徑r⇒m²=（1+k²）r²．聯(lián)立直線方程和與橢圓的方程，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$求解．

解答 解：（Ⅰ）依題意原點(diǎn)O到切線l：y=-$\frac{1}{2}$x+m的距離為半徑1，∴$\frac{m}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}=1$，⇒m=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
切線l：y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{\sqrt{5}}{2}$，⇒A（0，$\frac{\sqrt{5}}{2}$），B（$\sqrt{5}$，0）
∴a=$\sqrt{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{\frac{5}{4}}=1$．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
$△=（2{a}^{2}km）^{2}-4（^{2}+{a}^{2}{k}^{2}）（{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}）\\;＞0$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-2{a}^{2}km}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{a}^{2}{m}^{2}-{a}^{2}^{2}}{^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$．
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=0$；
⇒（k²+1）x₁x₂+km（x₁+x₂）=m²（a²+b²）=（k²+1）a²b^2_…①
又∵圓O的一條切線l：y=kx+m，∴原點(diǎn)O到切線l：y=kx+m的距離為半徑r⇒m²=（1+k²）r²…②
由①②得r²（a²+b²）=a²b²．
∴以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，則a，b，r之間的等量關(guān)為：r²（a²+b²）=a²b²．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線方程的求法，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了平面向量在求解圓錐曲線問(wèn)題中的應(yīng)用，是中檔題．