Question

11．已知命題p：在x＞0時(shí)不等式$\frac{x}{{x}^{2}-x+1}$＜a恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=log_0.5$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4））上是減函數(shù)，若命題“p∨q”是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 利用復(fù)合命題真假的判斷方法求解實(shí)數(shù)a的取值范圍是解決本題的關(guān)鍵．首先要確定出命題p，q為真的字母a的取值范圍，利用恒成立問(wèn)題的分離變量方法得出命題p為真的a的范圍；利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的方法得出命題q為真的a的范圍，注意對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的意識(shí)

解答 解：若p是真，a＞$\frac{1}{x+\frac{1}{x}-1}$≥$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{1}{x}}-1}$=$\frac{1}{2-1}$=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，故a＞1，
若q為真，f（x）=log_0.5$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4）上是減函數(shù)，則y=$\frac{ax-2}{x-1}$在（2，4）為增函數(shù)，且$\frac{ax-2}{x-1}$＞0，在（2，4）恒成立，
∴$\frac{2a-2}{2-1}$＞0，解得a＞1，
若命題“p∨q”是真命題，則有p真q假或p假q真或p，q均為真命題，
若p真q假，則不存在a，若p假q真，則不存在a，若p，q均為真命題，a＞1，
綜上可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題真假判斷與應(yīng)用，解決本題的靈魂在于“轉(zhuǎn)化”，將p∨q是真命題，轉(zhuǎn)化為p真q假或p假q真或p真p真．