【題目】在如圖所示的幾何體中,底面是矩形,平面平面,平面平面,是邊長為4的等邊三角形,.
(1)求證:;
(2)求二面角的余弦值
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)先證明平面,又,從而證明平面.即可得證.
(2)以的中點為為原點建立空間之間坐標(biāo)系,標(biāo)出點的坐標(biāo),求出平面的法向量為,平面的法向量代入公式即可求解.
(1)由底面為矩形可得,又平面平面,平面平面,平面,所以平面
因為平面MCD,平面MCD,所以平面MCD,
而平面平面,所以,所以平面.
又平面,所以.
(2)如圖,設(shè)的中點為,過作交于.易知兩兩垂直,以為原點,分別以為,軸建立空間直角坐標(biāo)系
則,,
所以,,
設(shè)平面的法向量為.
由可得可令,可得
設(shè)平面的法向量
由可得令,可得
則
易知二面角為銳角,所以二面角的余弦值為
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位同學(xué)參加詩詞大賽,各答3道題,每人答對每道題的概率均為,且各人是否答對每道題互不影響.
(Ⅰ)用表示甲同學(xué)答對題目的個數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望;
(Ⅱ)設(shè)為事件“甲比乙答對題目數(shù)恰好多2”,求事件發(fā)生的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓過點,離心率為.分別是橢圓的上、下頂點,是橢圓上異于的一點.
(1)求橢圓的方程;
(2)若點在直線上,且,求的面積;
(3)過點作斜率為的直線分別交橢圓于另一點,交軸于點,且點在線段上(不包括端點),直線與直線交于點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】截至2019年,由新華社《瞭望東方周刊》與瞭望智庫共同主辦的"中國最具幸福感城市"調(diào)查推選活動已連續(xù)成功舉辦12年,累計推選出60余座幸福城市,全國約9億多人次參與調(diào)查,使"城市幸福感"概念深入人心.為了便于對某城市的"城市幸福感"指數(shù)進(jìn)行研究,現(xiàn)從該市抽取若干人進(jìn)行調(diào)查,繪制成如下不完整的2×2列聯(lián)表(數(shù)據(jù)單位:人).
男 | 女 | 總計 | |
非常幸福 | 11 | 15 | |
比較幸福 | 9 | ||
總計 | 30 |
(1)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并據(jù)此判斷是否有90%的把握認(rèn)為城市幸福感指數(shù)與性別有關(guān);
(2)若感覺"非常幸福"記2分,"比較幸福"記1分,從上表男性中隨機(jī)抽取3人,記3人得分之和為,求的分布列,并根據(jù)分布列求的概率
附:,其中.
) | 0. 10 | 0. 05 | 0. 010 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 6. 635 | 10. 828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的離心率為,直線被橢圓截得的線段長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的直線與橢圓交于兩點(不是橢圓的頂點),點在橢圓上,且,直線與軸軸分別交于兩點.
①設(shè)直線斜率分別為,證明存在常數(shù)使得,并求出的值;
②求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知的三邊分別為所對的角分別為,且三邊滿足,已知的外接圓的面積為,設(shè).則的取值范圍為______,函數(shù)的最大值的取值范圍為_______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時,證明:函數(shù)有兩個零點;
(Ⅲ)若函數(shù)有兩個不同的極值點,記作,且,證明(為自然對數(shù)的底數(shù)).
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