【題目】已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)討論的單調(diào)性;

(2)當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令只需在使即可,通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最值,從而確定的范圍即可.

解:(1)由題意可知,

當(dāng)時(shí),,此時(shí)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),令,解得,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),令,解得,

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;

綜上,當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減,

時(shí)單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí),時(shí),單調(diào)遞減,

時(shí)單調(diào)遞增.

(2)由,

可得,,

只需在使即可,

①當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,

所以上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

只需

解得,所以;

②當(dāng)時(shí),上是增函數(shù),

上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

,解得,

③當(dāng)時(shí),,上是增函數(shù),

成立,

④當(dāng)時(shí),上是增函數(shù),

上是減函數(shù),在上是增函數(shù),

,解得

綜上,的取值范圍為.

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