Question

6．給出下列五種說法：
（1）函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）與函數(shù)y=x²得到定義域相同；
（2）函數(shù)y=x²與y=3^x的值域相同；
（3）函數(shù)y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$與y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$均是奇函數(shù)；
（4）函數(shù)y=（x-1）²與y=2x-1在（0，+∞）上都是增函數(shù)；
（5）記函數(shù)f（x）=x-[x]（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.2]=3；[-2.3]=-3），則f（x）的值域是[0，1）．
其中所有正確說法的序號是（1）（3）（5）．

Answer 1

分析 求出兩函數(shù)的定義域判斷（1）；求出兩函數(shù)的值域判斷（2）；利用奇函數(shù)的定義判斷（3）；判出函數(shù)y=（x-1）²的單調(diào)性判斷（4）；由新定義求出函數(shù)f（x）=x-[x]的值域判斷（5）．

解答 解：（1）函數(shù)y=a^x（a＞0，a≠1）與函數(shù)y=x²的定義域都是R，相同，（1）正確；
（2）函數(shù)y=x²的值域為[0，+∞），y=3^x的值域為（0，+∞），（2）錯誤；
（3）$f（-x）=\frac{（1+{2}^{-x}）^{2}}{-x•{2}^{-x}}=\frac{\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{{2}^{2x}}}{-\frac{x}{{2}^{x}}}$=$-\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$=-f（x），y=$\frac{（1+{2}^{x}）^{2}}{x•{2}^{x}}$為奇函數(shù)，
f（-x）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{{2}^{x}}-1}=\frac{1}{2}+\frac{{2}^{x}}{1-{2}^{x}}$=$\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$，
-f（x）=-（$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$）=$-\frac{1+{2}^{x}}{2（{2}^{x}-1）}=\frac{1+{2}^{x}}{2（1-{2}^{x}）}$，函數(shù)y=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}-1}$是奇函數(shù)，（3）正確；
（4）函數(shù)y=（x-1）²在（0，1）上是減函數(shù)，（4）錯誤；
（5）記函數(shù)f（x）=x-[x]（注：[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[3.2]=3；[-2.3]=-3，則f（x）的值域是[0，1），（5）正確．
故答案為：（1）（3）（5）．

點評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了函數(shù)定義域和值域的求法，訓(xùn)練了函數(shù)奇偶性的判斷，是中檔題．