2.如果對定義在R上的函數(shù)f(x),以任意兩個不相等的實數(shù)x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”.給出下列函數(shù):
①y=-x3+x+1;   
②y=3x-2(sin x-cos x);
③y=ex+1;        
④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$
以上函數(shù)是“H函數(shù)”的所有序號為②③.

分析 不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等價為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,即滿足條件的函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

解答 解:∵對于任意給定的不等實數(shù)x1,x2,
不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,
∴不等式等價為(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0恒成立,
即函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù).
對于①y=-x3+x+1;y′=-3x2+1,則函數(shù)在定義域上不單調(diào);
對于②y=3x-2(sinx-cosx);y′=3-2(cosx+sinx)=3-2$\sqrt{2}$sin(x+$\frac{π}{4}$)>0,
函數(shù)單調(diào)遞增,滿足條件;
對于③y=ex+1為增函數(shù),滿足條件;
④f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|,x≠0}\\{0,x=0}\end{array}\right.$,當x>0時,函數(shù)單調(diào)遞增,當x<0時,函數(shù)單調(diào)遞減,不滿足條件.
綜上滿足“H函數(shù)”的函數(shù)為②③,
故答案為:②③.

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,將條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性的形式是解決本題的關(guān)鍵.

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