Question

12．已知關(guān)于x不等式：ax²+（a-1）x-1≥0
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式的解集；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，求不等式的解集．

Answer 1

分析 （1）a=2時(shí)，不等式化為2x²+x-1≥0，求出解集即可；
（2）a∈R時(shí)，討論a=0、a＞0以及a＜0時(shí)，不等式的解集是什么，求出解集即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，原不等式化為2x²+x-1≥0，
即（x+1）（2x-1）≥0，
解得x≤-1，或x≥$\frac{1}{2}$，
∴不等式的解集為{x|x≤-1，或x≥$\frac{1}{2}$}；
（2）當(dāng)a∈R時(shí)，若a=0時(shí)，則不等式化為-x-1≥0，解得x≤-1；
若a≠0，則方程ax²+（a-1）x-1=0可化為（ax-1）（x+1）=0，
解得x=-1或x=$\frac{1}{a}$；
①當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{a}$＞0＞-1，原不等式化為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≥0，
∴其解集為{x|x≥$\frac{1}{a}$或x≤-1}；
②當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜-1，原不等式化為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
∴其解集為{x|$\frac{1}{a}$≤x≤-1}；
③當(dāng)a=-1時(shí)，$\frac{1}{a}$=-1，原不等式化為（x+1）²≤0，
其解集為{x|x=-1}；
④當(dāng)a＜-1時(shí)，$\frac{1}{a}$＞-1，原不等式為（x-$\frac{1}{a}$）（x+1）≤0，
其解集為{x|-1≤x≤$\frac{1}{a}$}；
綜上，a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤-1}；
a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|x≥$\frac{1}{a}$或x≤-1}；
-1＜a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|$\frac{1}{a}$≤x≤-1}；
a=-1時(shí)，不等式的解集為{x|x=-1}；
a＜-1時(shí)，不等式的解集為{x|-1≤x≤$\frac{1}{a}$}．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了用分類討論的思想求含有字母系數(shù)的一元二次不等式的解法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．