【題目】如圖,多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是矩形,EF∥AD,F(xiàn)A⊥面ABCD,AB=AF=EF=1,AD=2,AC交BD于點(diǎn)P
(1)證明:PF∥面ECD;
(2)求二面角B﹣EC﹣A的大。
【答案】
(1)證明:取CD中點(diǎn)G,連結(jié)EG、PG,
∵點(diǎn)P為矩形ABCD對角線交點(diǎn),
∴在△ACD中,PG AD,
又EF=1,AD=2,EF∥AD,∴EF PG,
∴四邊形EFPG是平行四邊形,
∴FP∥EG,
又FP平面ECD,EG平面ECD,
∴FP∥平面ECD.
(2)解:由題意,以AB所在直線為x軸,
AD所在直線為y軸,AF所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則F(0,0,1),B(1,0,0),C(1,2,0),E(0,1,1),
∴ =(0,2,0), =(1,1,﹣1), =(1,2,0),
取FB中點(diǎn)H,連結(jié)AH,則 =( ),
∵ =0, =0,
∴AH⊥平面EBC,
故取平面AEC法向量為 =( ),
設(shè)平面AEC的法向量 =(x,y,1),
則 ,∴ =(2,﹣1,1),
cos< >= = = ,
∴二面角B﹣EC﹣A的大小為 .
【解析】(1)取CD中點(diǎn)G,連結(jié)EG、PG,推導(dǎo)出四邊形EFPG是平行四邊形,由此能證明FP∥平面ECD.(2)以AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AF所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大。
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的離心率為,依次連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形面積為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于, 兩點(diǎn),設(shè)與面積之比為(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)時,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在以、、、、、為頂點(diǎn)的五面體中,平面平面,,四邊形為平行四邊形,且.
(1)求證:;
(2)若,,直線與平面所成角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】①線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)中的一個點(diǎn);
②若兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于;
③在某項(xiàng)測量中,測量結(jié)果服從正態(tài)分布 ,若位于區(qū)域內(nèi)的概率為,則位于區(qū)域內(nèi)的概率為;
④對分類變量與的隨機(jī)變量K2的觀測值k來說,k越小,判斷“與有關(guān)系”的把握越大.其中真命題的序號為( )
A. ①④ B. ②④ C. ①③ D. ②③
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【題目】已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),若在(0,+∞)為增函數(shù),f(1)=0,則<0的解集為( )
A. (, B.
C. D.
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【題目】已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且S2=6,S4=30,n∈N* , 數(shù)列{bn}滿足bnbn+1=an , b1=1
(1)求an , bn;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn .
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【題目】已知坐標(biāo)平面上點(diǎn)與兩個定點(diǎn), 的距離之比等于5.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;
(2)記(1)中的軌跡為,過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為 8,求直線的方程.
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【題目】已知函數(shù)(, 為自然對數(shù)的底數(shù)),且曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸.
(1)求的值;
(2)求函數(shù)的極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 ,若f(x)=mn. (I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II)己知△ABC的三內(nèi)角A,B,C對邊分別為a,b,c,且a=3,f ,sinC=2sinB,求A,c,b的值.
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