Question

6．已知函數(shù)f（x）=a（x²-2x+1）+lnx，a∈R．
（1）當$a=-\frac{1}{4}$時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤x-1對?x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），求導(dǎo)，并分類討論即可求出a的取值范圍

解答 解：（1）$a=-\frac{1}{4}$，$f（x）=-\frac{1}{4}{（x-1）}^{2}+lnx$，（x＞0）
f′（x）=$-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=\frac{-{x}^{2}+x+2}{2x}=\frac{-（x-2）（x+1）}{2x}$，
當0＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；
當x＞2時，f′（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．
（2）由題意得a（x-1）²+lnx≤x-1對x∈[1，+∞）恒成立，
設(shè)g（x）=a（x-1）²+lnx-x+1，x∈[1，+∞），則g（x）_max≤0，x∈[1，+∞），
求導(dǎo)得$g'（x）=\frac{{2ax}^{2}-（2a+1）x+1}{x}=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
當a≤0時，若x＞1，則g'（x）＜0，
所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減g（x）_max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；
當$a≥\frac{1}{2}$時，$x=\frac{1}{2a}≤1$，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，
所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，$x=\frac{1}{2a}＞1$，則f（x）在$[1，\frac{1}{2a}]$上單調(diào)遞減，$[\frac{1}{2a}，+∞）$單調(diào)遞增，
則存在$\frac{1}{a}∈[\frac{1}{2a}，+∞）$，有$g（\frac{1}{a}）=a{（\frac{1}{a}-1）}^{2}+ln\frac{1}{a}-\frac{1}{a}+1=-lna+a-1＞0$，
所以不成立，
綜上得a≤0．

點評 本題主要考察了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，最值，以及恒成立問題的判斷．