Question

若α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，λ∈R，且（α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，4β³+sinβcosβ+λ=0，則cos（

α

2

+β）的值為（　�。�

• A、0
• B、

  1

  2

• C、

  3

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：綜合題,三角函數(shù)的求值

分析：由題意可得-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的兩個實數(shù)解．再由

π

2

-α 和2β的范圍都是[-

π

2

，

π

2

]，方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一個解，可得

π

2

-α=2β，所以

α

2

+β=

π

4

，由此求得cos（

α

2

+β）的值．

解答： 解：∵4β³+sinβcosβ+λ=0，∴（-2β）³-2sinβcosβ-2λ=0，即  （-2β）³+sin（-2β ）-2λ=0．
再由（α-

π

2

）³-cosα-2λ=0，可得（α-

π

2

）³ +sin（α-

π

2

）-2λ=0．
故-2β和α-

π

2

是方程 x³+sinx-2λ=0 的兩個實數(shù)解．
再由α∈[0，π]，β∈[-

π

4

，

π

4

]，所以

π

2

-α 和2β的范圍都是[-

π

2

，

π

2

]，
由于函數(shù) x³+sinx 在[-

π

2

，

π

2

]上單調(diào)遞增，故方程 x³+sinx-2λ=0在[-

π

2

，

π

2

]上只有一個解，
所以，

π

2

-α=2β，所以

α

2

+β=

π

4

，所以cos（

α

2

+β）=

2

2

．
故選：D．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，式子的變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．