Question

3．${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)是117．

Answer 1

分析 ${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$.$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通項(xiàng)公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．令2r-3k=0，則k=0時(shí)，r=0；k=2時(shí)，r=3．代入即可得出．

解答 解：${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式的通項(xiàng)公式：T_r+1=${∁}_{4}^{r}$3^4-r$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$．
$（{x}^{2}-\frac{1}{x}）^{r}$的通項(xiàng)公式：T_k+1=${∁}_{r}^{k}（{x}^{2}）^{r-k}（-\frac{1}{x}）^{k}$=（-1）^k${∁}_{r}^{k}$x^2r-3k．
令2r-3k=0，則k=0時(shí)，r=0；k=2時(shí)，r=3．
∴${（{{x^2}-\frac{1}{x}+3}）^4}$的展開式中常數(shù)項(xiàng)=3⁴+${∁}_{3}^{2}×{∁}_{4}^{3}×3$=117．
故答案為：117．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、分類討論，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．