Question

6．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=c且滿足cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，若點O是△ABC外一點，OA=2OB=4，則四邊形OACB的面積的最大值為（　�。�

• A． 8+5$\sqrt{3}$
• B． 4+5$\sqrt{3}$
• C． 12
• D． 4+5$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由誘導(dǎo)公式、兩角和的余弦公式化簡已知的式子，由內(nèi)角的范圍、商的關(guān)系、特殊角的三角函數(shù)值求出B，結(jié)合條件判斷出△ABC為等邊三角形，∠AOB=θ邊求出θ的范圍，利用三角形的面積公式與余弦定理，表示出得S_OACB，利用輔助角公式化簡，由θ的范圍和正弦函數(shù)的性質(zhì)求出平面四邊形OACB面積的最大值．

解答 解：∵cosC+（cosA-$\sqrt{3}$sinA）cosB=0，cosC=-cos（A+B），
∴cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB，
化簡得$\sqrt{3}$sinAcosB=sinAsinB，
∵A為三角形內(nèi)角，sinA≠0，∴tanB=$\sqrt{3}$，
∴由B∈（0，π）得，B=$\frac{π}{3}$，
又∵a=c，∴△ABC為等邊三角形；
設(shè)∠AOB=θ，則0＜θ＜π，
∴S_OACB=S_△AOB+S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|sinθ+$\frac{1}{2}$×|AB|²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{1}{2}$×4×2×sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cosθ）
=4sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4+16-2×2×4×cosθ）=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$
=8sin（θ-$\frac{π}{3}$）+5$\sqrt{3}$，
∵0＜θ＜π，∴-$\frac{π}{3}$＜θ-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$，
∴當θ-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，即θ=$\frac{5π}{6}$時，sin（θ-$\frac{π}{3}$）取得最大值1，
∴平面四邊形OACB面積的最大值為8+5$\sqrt{3}$．
故選A．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換中的公式，余弦定理的應(yīng)用，考查化簡、變形及運算能力，屬于中檔題．