Question

5．已知點(diǎn)F₂，P分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的右焦點(diǎn)與右支上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)M是PF₂的中點(diǎn)，$|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，則該雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用$|{\overrightarrow{O{F_2}}}|=|{\overrightarrow{{F_2}M}}$|，且$\overrightarrow{O{F_2}}•\overrightarrow{{F_2}M}=\frac{c^2}{2}$，求出直線的傾斜角，可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，可得結(jié)論．

解答 解：設(shè)∠OF₂M=α，則c²cos（π-α）=$\frac{1}{2}{c}^{2}$，∴cosα=-$\frac{1}{2}$，∴α=120°，
∵點(diǎn)M是PF₂的中點(diǎn)，∴P（2c，$\sqrt{3}$c），
代入雙曲線方程可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{^{2}}$=1，
化簡(jiǎn)得4e⁴-8e²+1=0，
∵e＞1，∴e=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．