Question

10．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）過點(diǎn)$（\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，過點(diǎn)（0，-2）的直線l與雙曲線C的一條漸進(jìn)線平行，且這兩條平行線間的距離為$\frac{2}{3}$，則雙曲線C的實(shí)軸長為（　�。�

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $4\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，利用點(diǎn)到直線的距離公式，即可求得a和c的關(guān)系，即可求得b=2$\sqrt{2}$a，將點(diǎn)代入橢圓方程，即可求得a的值，求得雙曲線C的實(shí)軸長．

解答 解：由雙曲線的漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
則（0，-2）到漸近線bx-ay=0的距離d=$\frac{丨2a-0丨}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{2a}{c}$=$\frac{2}{3}$，
則c=3a，即b=2$\sqrt{2}$a，
由雙曲線C過點(diǎn)$（\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$，
即$\frac{2}{{a}^{2}}-\frac{8}{8{a}^{2}}=1$，解得：a=1，
則雙曲線C的實(shí)軸長為2a=2，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．