Question

已知三點(diǎn)A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿足0≤

OP

•

OA

≤2，且0≤

OP

•

OB

≤2，則動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離小于

1

5

的概率為（　　）

• A、

  π

  20

• B、1-

  π

  20

• C、

  19π

  20

• D、1-

  19π

  20

Answer 1

考點(diǎn)：幾何概型

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：根據(jù)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式將不等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵A（2，1），B（1，-2），C（

3

5

，-

1

5

），∴

OP

•

OA

=2a+b，且

OP

•

OB

=a-2b，
∵0≤

OP

•

OA

≤2，且0≤

OP

•

OB

≤2，∴0≤2a+b≤2且0≤a-2b≤2，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
∵點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離小于

1

5

，
∴|CP|＜

1

5

，則對(duì)應(yīng)的部分為陰影部分，
由

a-2b=0  2a+b=2

解得

a= 4 5 b= 2 5

，
即E（

4

5

，

2

5

），|OE|=

( 4 5 )2+( 2 5 )2

=

20 25

=

4 5

，
∴正方形OEFG的面積為

4 5

×

4 5

=

4

5

，
則陰影部分的面積為π×(

1

5

)2=

π

25

，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為

π 25

4 5

=

π

20

，
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何概型的概率公式的計(jì)算，利用數(shù)量積將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出相應(yīng)區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵．