Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足：a_n²-（n²+n-1）a_n-（n²+n）=0（n∈N₊），數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，且滿足b₁=1，2S_n=1+b_n（n∈N₊）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設c_n=

(2n+1)bn

an

，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_2n＜1．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導出[a_n-（n²+n）]（a_n+1）=0，由此能求出an=n2+n；由2S_n=1+b_n，得b_n=-b_n-1，由此能求出bn=(-1)n-1．
（2）由c_n=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，推導出c_2n-1+c_2n=

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此利用裂項求和法能證明T_2n=1-

1

2n+1

＜1．

解答： （1）解：∵a_n²-（n²+n-1）a_n-（n²+n）=0，
∴[a_n-（n²+n）]（a_n+1）=0．（2分）
∵{a_n}是正項數(shù)列，∴an=n2+n．（3分）
∵2S_n=1+b_n，∴當n≥2時，2S_n-1=1+b_n-1，兩式相減得b_n=-b_n-1，（5分）
∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公比-1的等比數(shù)列，∴bn=(-1)n-1，（7分）
（2）證明：∵c_n=

(2n+1)bn

an

=（-1）^n-1•

2n+1

n(n+1)

，（8分）
∴c_2n-1+c_2n=

4n-1

2n(2n-1)

-

4n+1

2n(2n+1)

=

(4n-1)(2n+1)-(4n+1)(2n-1)

2n(2n-1)(2n+1)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，（11分）
∴T_2n=（c₁+c₂）+（c₃+c₄）+…+（c_2n-1+c_2n）
=

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

＜1．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查數(shù)列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．