Question

如圖，有一個形如六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是一個點(diǎn)（算第1層），第2層每邊有兩個點(diǎn)，第3層每邊有三個點(diǎn)，依此類推．如果一個六邊形點(diǎn)陣共有169個點(diǎn)，那么它一共有

 

層．

Answer 1

考點(diǎn)：歸納推理

專題：常規(guī)題型

分析：先根據(jù)條件對每一層的點(diǎn)的個數(shù)進(jìn)行列舉，然后通過歸納推理，得到各層的點(diǎn)的個數(shù)的一個規(guī)律，再利用這個規(guī)律求出共有n層時點(diǎn)的總數(shù)，結(jié)合條件，求出圖形的層數(shù)．

解答： 解：第一層有點(diǎn)數(shù)為：1，
第二層有點(diǎn)數(shù)為：6，
第三層有點(diǎn)數(shù)為：（頂點(diǎn)+邊的中點(diǎn)）6+6=2×6，
第四層有點(diǎn)的個數(shù)為：（在第三層基礎(chǔ)上，各邊多一點(diǎn)）6+6+6=3×6，
第五層有點(diǎn)的個數(shù)為：（在第四層基礎(chǔ)上，各邊多一點(diǎn)）6+6+6+6=4×6，
…
∴第n（n≥2，n∈N^*）層有點(diǎn)的個數(shù)為：（在第n-1層基礎(chǔ)上，各邊多一點(diǎn)）6（n-1）．
設(shè)一個圖形共有n（n≥2，n∈N^*）層時，共有的點(diǎn)數(shù)為：
1+6+6+…+6（n-1）=1+

6+6(n-1)

2

×n=3n²-3n+1
由題意得：3n²-3n+1=169，
∴（n+7）（n-8）=0．
∵n≥2，n∈N^*
∴n=8．
故一共有8層．
故答案為：8．

點(diǎn)評：本題考查了歸納推理知識，要求先列舉，后歸納，再應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于歸納出各層點(diǎn)數(shù)的規(guī)律．