Question

11．已知函數f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+ωx）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）（ω＞0），f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求y=f（x）的單調遞增區(qū)間；
（3）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析 由條件利用三角恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再利用正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，得出結論

解答 解：由函數f（x）=sin（$\frac{π}{3}$+ωx）+cos（ωx-$\frac{π}{6}$）=sin$\frac{π}{3}$cosωx+cos$\frac{π}{3}$sinωx+cosωxcos$\frac{π}{6}$+sinωxsin$\frac{π}{6}$
=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
（1）由f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{ω}$=π，求得ω=2，f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，
故函數y=f（x）的單調遞增區(qū)間為[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）若x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，則2x+$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
故當2x+$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$時，函數f（x）取得最小值為-$\sqrt{3}$，當 2x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）取得最大值為2，
故y=f（x）的值域為[-$\sqrt{3}$，2]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、單調性、定義域和值域，屬于中檔題．