Question

【題目】某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試。現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）.

（2）根據(jù)大量的汽車測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算第（1）問中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50。用樣本平均數(shù)作為的近似值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程恰在250千米到400千米之間的概率.

參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.

（3）某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎(jiǎng)”活動(dòng)，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結(jié)果，操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn)，若遙控車最終停在“勝利大本營(yíng)”，則可獲得購(gòu)車優(yōu)惠券3萬元。已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是0.5方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動(dòng)一次。若擲出正面，遙控車向前移動(dòng)一格（從到）若擲出反面遙控車向前移動(dòng)兩格（從到），直到遙控車移到第19格勝利大本營(yíng)）或第20格（失敗大本營(yíng)）時(shí)，游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為P試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值。

Answer 1

【答案】（1）300；（2）0.8186；（3）證明見解析，期望值為，約2萬元.

【解析】

0000

(1)利用每組中點(diǎn)值乘以其頻率,再求和即可得到平均值；

(2)由(1)可知，利用求解即可；

(3)根據(jù)題意可知：得出移到第n格兩種方式①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面；②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，由此得到，利用定義證明其為等比數(shù)列，結(jié)合累加法得出的表達(dá)式，由此得到，，根據(jù)題意得出參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0，分別求出或0的概率，然后求出期望即可.

（1）（千米）

（2）因?yàn)?/span>服從正態(tài)分布

所以

（3）遙控車開始在第0格為必然事件，，第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，遙控車移到第一格，其概率為,即。遙控車移到第n（）格的情況是下列兩種，而且也只有兩種。

①遙控車先到第格，又?jǐn)S出反面，其概率為

②遙控車先到第格，又?jǐn)S出正面，其概率為

所以，

當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列

以上各式相加，得

（）， 獲勝的概率

失敗的概率

設(shè)參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額為萬元，或0

X的期望

參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券金額的期望值為，約2萬元.