Question

9．已知命題$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{1}{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，\frac{1}{2}}]$
• C． [2-ln2，+∞）
• D． （-∞，2-ln2]

Answer 1

分析 命題$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命題，可得a≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，求出右邊的最小值，即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵命題$p：?x∈[{1，2}]，\frac{1}{2}{x^2}-lnx-a≥0$是真命題，
∴a≤$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，
令y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-lnx，則y′=x-$\frac{1}{x}$，
∵x∈[1，2]，∴y′＞0，∴函數(shù)單調(diào)遞增，
∴y_min=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全稱(chēng)命題，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．