Question

17．如圖，在三棱錐ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥底面ABC，△A₁AC為等邊三角形，AC⊥A₁B．
（1）求證：AB=BC；
（2）若∠ABC=90°，求A₁B與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AC的中點O，連接OA₁，OB，推導出AC⊥OA₁，AC⊥A₁B，從而AC⊥平面OA₁B，進而AC⊥OB，由點O為AC的中點，能證明AB=BC．
（2）以線段OB，OC，OA₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，利用向量法能求出A₁B與平面BCC₁B₁所成角的正弦值．

解答 解：（1）證明：取AC的中點O，連接OA₁，OB，
∵點O為等邊△A₁AC中邊AC的中點，
∴AC⊥OA₁，∵AC⊥A₁B，OA₁∩A₁B=A₁，
∴AC⊥平面OA₁B，又OB?平面OA₁B，
∴AC⊥OB，∵點O為AC的中點，∴AB=BC．
（2）由（1）知，AB=BC，又∠ABC=90°，故△ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，
∵A₁O⊥AC，側(cè)面ACC₁A₁O⊥底面上ABC，A₁⊥底面ABC
以線段OB，OC，OA₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
設AC=2，則A（0，-1，0），${A_1}（0，0，\sqrt{3}）$，B（1，0，0），C（0，1，0），
∴$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$，$\overrightarrow{B{B_1}}=\overrightarrow{A{A_1}}=（0，1，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{{A_1}B}=（1，0，-\sqrt{3}）$，
設平面BCC₁B₁的一個法向量$\overrightarrow{n_0}=（{x_0}，{y_0}，{z_0}）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{B{B_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}+{y_0}=0\\{y_0}+\sqrt{3}{z_0}=0\end{array}\right.$，令${y_0}=\sqrt{3}$，
則${x_0}=\sqrt{3}$，z₀=-1，∴$\overrightarrow{n_0}=（\sqrt{3}，\sqrt{3}，-1）$，
設A₁B與平面BCC₁B₁所成角為θ，
則$sinθ=|cos＜\overrightarrow{n_0}，\overrightarrow{{A_1}B}＞|=\frac{{\overrightarrow{n_0}•\overrightarrow{{A_1}B}}}{{|\overrightarrow{n_0}||\overrightarrow{{A_1}B}|}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．
∴A₁B與平面BCC₁B₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查兩線段相等的證明，考查線面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．