Question

8．在△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，O為平面內(nèi)一點(diǎn)．且|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$|，M為劣弧$\widehat{BC}$上一動點(diǎn)，且$\overrightarrow{OM}=p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}$．則p+q的取值范圍為[1，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，設(shè)外接圓的半徑為r，對$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$兩邊平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范圍．

解答 解：如圖所示，△ABC中，∠A=$\frac{π}{3}$，∴∠BOC=$\frac{2π}{3}$；
設(shè)|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}$=r，則O為△ABC外接圓圓心；


∵$\overrightarrow{OM}$=p$\overrightarrow{OB}$+q$\overrightarrow{OC}$，
∴${|\overrightarrow{OM}|}^{2}$=${（p\overrightarrow{OB}+q\overrightarrow{OC}）}^{2}$=r²，
即p²r²+q²r²+2pqr²cos$\frac{2π}{3}$=r²，
∴p²+q²-pq=1，
∴（p+q）²=3pq+1；
又M為劣弧AC上一動點(diǎn)，
∴0≤p≤1，0≤q≤1，
∴p+q≥2$\sqrt{pq}$，
∴pq≤${（\frac{p+q}{2}）}^{2}$=$\frac{{（p+q）}^{2}}{4}$，
∴1≤（p+q）²≤$\frac{3}{4}$（p+q）²+1，
解得1≤（p+q）²≤4，
∴1≤p+q≤2；
即p+q的取值范圍是[1，2]．
故答案為：[1，2]．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的應(yīng)用問題和圓周角與圓心角的關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．