Question

12．如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∠PCA=90°，E，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，AP=4，BE=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：BH⊥AC，EH⊥AC，即可證明AC⊥平面BEH；
（Ⅱ）取BH得中點(diǎn)G，連接AG，證明∠EAG為PA與平面ABC所成的角，即可求直線PA與平面ABC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
所以BH⊥AC．…（2分）
又因?yàn)镋，H分別為AP，AC的中點(diǎn)，得EH∥PC，
因?yàn)椤螾CA=90°，
所以EH⊥AC．…（5分）
故AC⊥平面BEH．…（7分）
（Ⅱ）解：取BH得中點(diǎn)G，連接AG．…（9分）
因?yàn)镋H=BH=BE=$\sqrt{3}$，所以EG⊥BH．
又因?yàn)锳C⊥平面BEH，所以EG⊥AC，
所以EG⊥平面ABC．
所以∠EAG為PA與平面ABC所成的角．…（12分）
在直角三角形EAG中，AE=2，EG=$\frac{3}{2}$，
所以\sin∠EAG=$\frac{EG}{EA}$=$\frac{3}{4}$．…（15分）
所以PA與平面ABC所成的角的正弦值為$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確利用線面垂直的判定定理是關(guān)鍵．