Question

4．已知拋物線C：y²=2px（p＞0），半圓M：x²+2x+y²=0（y≥0），過點P（-3，0）與半圓M相切于點A的直線l，與拋物線C有且只有一個公共點B．
（1）求拋物線C的方程及點A，B的坐標(biāo)；
（2）過點B作傾斜角互補的兩條直線分別交拋物線C于S，T兩點（不同于坐標(biāo)原點O），求證：直線ST∥直線AO．

Answer 1

分析 （1）通過直線l與半圓M相切可得圓心到直線l的距離為1，可得直線l的斜率，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，利用韋達定理計算即得結(jié)論；
（2）設(shè)直線BS、BT的兩條直線斜率分別為t，-t，分別聯(lián)立直線BS、BT與拋物線方程，利用韋達定理B、T點縱坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式計算即可．

解答 （1）解：半圓M方程化為：（x+1）²+y²=1（y≥0），
設(shè)l的方程為y=k（x+3），即kx-y+3k=0，
由題意得得k＞0，又d_M-l=$\frac{|-k+3k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故l的方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+3），
代入拋物線C：y²=2px（p＞0）方程，得x²+（6-6p）x+9=0，
由△=（6-6p）²-36=0，得p=2，
進而得B（3，2$\sqrt{3}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+3）}\\{{x}^{2}+2x+{y}^{2}=0（y＞0）}\end{array}\right.$，解得A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
故拋物線C的方程為：y²=4x，點A坐標(biāo)為A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），點B坐標(biāo)為B（3，2$\sqrt{3}$）；
（2）證明：設(shè)直線BS、BT的兩條直線斜率分別為t，-t，
則直線BS為：y-2$\sqrt{3}$=t（x-3），代入拋物線方程y²=4x，
消去x得：ty²-4y+8$\sqrt{3}$-12t=0，
由韋達定理可得y_B+y_S=$\frac{4}{t}$，
∴y_S=$\frac{4}{t}$-2$\sqrt{3}$，同理可得y_T=-$\frac{4}{t}$-2$\sqrt{3}$，
∴k_ST=$\frac{{y}_{S}-{y}_{T}}{{x}_{S}-{x}_{T}}$=$\frac{{y}_{S}-{y}_{T}}{\frac{{{y}_{S}}^{2}-{{y}_{T}}^{2}}{4}}$=$\frac{4}{{y}_{S}-{y}_{T}}$=$\frac{4}{-4\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由（1）知A（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），∴k_AO=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即k_ST=k_AO，
又兩直線直線ST與直線AO不重合，
∴直線ST∥直線AO．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，涉及韋達定理、斜率計算公式等知識，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．