Question

17．已知函數(shù)f（x）=sinπx和函數(shù)g（x）=cosπx在區(qū)間[0，2]上的圖象交于A，B兩點，則△OAB面積是（　　）

• A． $\frac{3\sqrt{2}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{5\sqrt{2}}{8}$
• D． $\frac{3\sqrt{2}}{4}$

Answer 1

分析 由sinπx=cosπx=sin（$\frac{π}{2}-πx$），x∈[0，2]，可解得πx=$\frac{π}{2}-πx$+2kπ，k∈Z，可解得坐標：A（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{5}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），求得直線AB所在的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{4}$），聯(lián)立方程y=0，可解得OC=$\frac{3}{4}$，即可求得△OAB面積．

解答 解：如圖所示：∵sinπx=cosπx=sin（$\frac{π}{2}-πx$），x∈[0，2]，
∴可解得：πx=π-（$\frac{π}{2}-πx$）+2kπ，k∈Z（無解），或πx=$\frac{π}{2}-πx$+2kπ，k∈Z
∴可解得：x=$\frac{1}{4}$+k，k∈Z，且x∈[0，2]，
∴x=$\frac{1}{4}$，或$\frac{5}{4}$，
∴解得坐標：A（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（$\frac{5}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴解得直線AB所在的方程為：y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\sqrt{2}$（x-$\frac{1}{4}$），聯(lián)立方程y=0，可解得：x=$\frac{3}{4}$，及OC=$\frac{3}{4}$．
∴S_△OAB=S_△OAC+S_△COB=$\frac{1}{2}×OC×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}×OC×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
故選：A．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了直線的方程與三角形面積的求法，綜合性較強，考查了數(shù)形結(jié)合能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．