Question

8．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、B、C對應的邊長．若cosA+sinA-$\frac{2}{cosB+sinB}$=0，則$\frac{a+b}{c}$=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用三角函數恒等變換的應用化簡已知可得cos（A-B）+sin（A+B）=2，由cos（A-B），sin（A+B）的范圍，解得cos（A-B）=1，sin（A+B）=1，解得A=B=45°，C=90°，利用正弦定理化簡可得$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$，即可得解．

解答 解：在△ABC中，∵cosA+sinA-$\frac{2}{cosB+sinB}$=0，
∴（cosA+sinA）（cosB+sinB）=2，
∴cosAcosB+sinAsinB+sinAcosB+sinBcosA=2，
∴cos（A-B）+sin（A+B）=2，
∵cos（A-B）∈[-1，1]；sin（A+B）∈[-1，1]，
∴當二者和為2時，只能是二者均為1，
即cos（A-B）=1，sin（A+B）=1，
∵A、B、C為△ABC內角，
∴A-B=0，A+B=90°，
∴解得A=B=45°，
∴C=180°-45°-45°=90°，
∴$\frac{a+b}{c}$=$\frac{sinA+sinB}{sinC}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，三角函數恒等變換的應用，三角函數的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．