Question

已知雙曲線與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于

14

5

．
（1）求雙曲線的離心率的值；
（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)和離心率，由已知條件，能求出雙曲線的離心率．
（2）由橢圓的焦點(diǎn)，能得到雙曲線的焦點(diǎn)，再由雙曲線的離心率能求出雙曲線的方程．

解答： 解：（1）在橢圓

x2

25

+

y2

9

=1中，
a²=25，b²=9，c²=16，
離心率e=

4

5

，
∵雙曲線與橢圓的離心率之和等于

14

5

，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)也在x軸上，坐標(biāo)為（±4，0），
雙曲線的離心率e′=

14

5

-

4

5

=2．
（2）∵橢圓焦點(diǎn)在x軸上，
∴其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±4，0），
∵雙曲線與橢圓

x2

25

+

y2

9

=1的焦點(diǎn)相同，
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)也在x軸上，坐標(biāo)為（±4，0），
由題意設(shè)雙曲線方程為

x2

m2

-

y2

n2

=1(m＞0，n＞0)，
由（1）知，c=4，e′=2，
∴e′=

4

m

=2，
解得m=2，∴n²=16-4=12，
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

12

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，解題時(shí)要熟練掌握雙曲線和橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．