Question

設(shè)雙曲線，F(xiàn)₁、F₂是其兩個焦點，點M在雙曲線上

(1)若∠F₁MF₂=90°，求△F₁MF₂的面積；    
(2)若∠F₁MF₂=60°時，△F₁MF₂的面積是多少？若∠F₁MF₂=120°時，△F₁MF₂的面積是多少？    
(3)觀察以上計算結(jié)果，你能看出隨著∠F₁MF₂的變化，△F₁MF₂的面積將怎樣變化嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：(1)由雙曲線方程知a=2，b=3，
設(shè)|MF₁|=r_1，|MF₂|=r₂(r₁>r₂).
由雙曲線定義得r₁-r₂=2a=4，
兩邊平方得
即，
即

(2)若∠F₁MF₂=60°，在△MF₁F₂中，由余弦定理得

|F₁F₂|²=(r₁-r₂)²+r₁r₂
∴ r₁r₂=36，則
同理，若∠F₁MF₂=120°，
    
(3)由以上結(jié)果可知，隨著∠F₁MF₂的增大，△F₁MF₂的面積將減小，

證明：令∠F₁MF₂=θ，則
由雙曲線定義及余弦定理得
②-①得

∵0<θ<π，
∴
在內(nèi)，是單調(diào)遞減的．
∴當(dāng)θ增大時，減�。�