【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且滿足,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作與軸不平行的直線,交曲線于,兩點(diǎn),點(diǎn),記,,分別為,,的斜率,求證:為定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)詳見解析
【解析】
解法一:(I)用x,y分別表示,結(jié)合,構(gòu)造等式,即可。(II)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,設(shè)出M,N的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,計(jì)算,即可。解法二:(I)設(shè)出P,Q坐標(biāo),結(jié)合,建立方程,即可。(II)設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,設(shè)出M,N的坐標(biāo),結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系,計(jì)算,即可。解法三(I)利用向量數(shù)量積關(guān)系,建立方程,計(jì)算結(jié)果,即可。(II)與解法一、二相同。
解法一:
(Ⅰ)設(shè),則,
,,.
∵,
∴,
代入整理得,
曲線的方程為.
(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,,
聯(lián)立,
整理得,
設(shè),,
則,
∵,,
∴
,
∴為定值.
解法二:(Ⅰ)設(shè),則,
∴,,
∵,
∴.
整理得,
曲線的方程為.
(Ⅱ)依題意得,直線的方程為,,
聯(lián)立,
整理得,
設(shè),,
則,
∵,,
∴
,
∴為定值.
解法三:(Ⅰ)設(shè),則,
∴,,
∵,
∴.
整理得,
曲線的方程為.
(Ⅱ)同解法一,解法二.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中,有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來(lái)很神奇,其實(shí)原理是十分簡(jiǎn)單的,要學(xué)會(huì)盲擰也是很容易的.根據(jù)調(diào)查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān).為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,某興趣小組隨機(jī)抽取了50名魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查,得到的情況如下表所示:
喜歡盲擰 | 不喜歡盲擰 | 總計(jì) | |
男 | 22 | 30 | |
女 | 12 | ||
總計(jì) | 50 |
表1
并邀請(qǐng)這30名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如下表所示:
成功完成時(shí)間(分鐘) | [0,10) | [10,20) | [20,30) | [30,40] |
人數(shù) | 10 | 10 | 5 | 5 |
表2
(1)將表1補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)?
(2)根據(jù)表2中的數(shù)據(jù),求這30名男生成功完成盲擰的平均時(shí)間(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替);
(3)現(xiàn)從表2中成功完成時(shí)間在[0,10)內(nèi)的10名男生中任意抽取3人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄,記成功完成時(shí)間在[0,10)內(nèi)的甲、乙、丙3人中被抽到的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(13分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2,a3=a2+4.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,四棱錐中,底面,,,,,,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,,,,為的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)若線段上的點(diǎn)滿足,求棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一袋中裝有形狀、大小都相同的6只小球,其中有3只紅球、2只黃球和1只藍(lán)球.若從中1次隨機(jī)摸出2只球,則1只紅球和1只黃球的概率為__________,2只球顏色相同的概率為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.
若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列,的前n項(xiàng)和為,則下列說(shuō)法中正確的是( )
A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列
C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是
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