Question

設△ABC，P是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有則（ ）
A．∠ABC=90°
B．∠BAC=90°
C．AB=AC
D．AC=BC

Answer 1

【答案】分析：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設AB=4，C（a，b），P（x，0），然后由題意可寫出，，，，然后由結合向量的數量積的 坐標表示可得關于x的二次不等式，結合二次不等式的知識可求a，進而可判斷
解答：解：以AB所在的直線為x軸，以AB的中垂線為y軸建立直角坐標系，設AB=4，C（a，b），P（x，0）
則BP=1，A（-2，0），B（2，0），P（1，0）
∴=（1，0），=（2-x，0），=（a-x，b），=（a-1，b）
∵恒有
∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立
∴△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分線上
∴AC=BC
故△ABC為等腰三角形
故選D
點評：本題主要考查了平面向量的運算，向量的模及向量的數量積的概念，向量運算的幾何意義的應用，還考查了利用向量解決簡單的幾何問題的能力