Question

19．某地為了慶祝國慶66周年，現(xiàn)計(jì)劃在城市中心廣場搭建一個(gè)巨型花籃（如圖甲）．其中主體框梨（如圖乙）準(zhǔn)備用鋼材焊接而成，具體設(shè)計(jì)方案如下：①上、中、下三部分依次由正六棱臺、正六棱柱、正六棱臺組成；②這三個(gè)幾何體的側(cè)面用于張貼宣傳城市風(fēng)光的圖片，且側(cè)面積之和為108m²；③BC：B₁C₁：B₃C₃=1：2：4，∠BB₁C₁=∠B₂B₃C₃=α，且sinα=$\frac{4}{5}$，設(shè)BC=xm，B₁B₂=ym．
（1）試將y表示為x的函數(shù)，并求函數(shù)的定義城；
（2）當(dāng)x為多少時(shí)，焊接主體框架的鋼材用料最�。�

Answer 1

分析 （1）由題意畫出下面四棱臺的一個(gè)側(cè)面等腰梯形，求出斜高，同理得到上面四棱臺一側(cè)面的斜高，利用側(cè)面積的和列式得到關(guān)于x，y的關(guān)系式，即可將y表示為x的函數(shù)，并求函數(shù)的定義城；
（2）把幾何體的所有棱長用x表示，然后利用基本不等式求得最值．

解答 解：（1）如圖所示等腰梯形，由BC=x，且BC：B₁C₁=1：2，得B₁C₁=2x，
過B作BE⊥B₁C₁于E，
在Rt△B₁EB中，由${B}_{1}E=\frac{x}{2}$，sin$α=\frac{4}{5}$，得cosα=$\frac{3}{5}$，tan$α=\frac{4}{3}$，∴BE=$\frac{2}{3}x$，
同理可得最上面正六棱臺的上底為4x，斜高為$\frac{4}{3}x$，
∴幾何體的側(cè)面積為S=6[$\frac{1}{2}（x+2x）•\frac{2}{3}x+2xy+\frac{1}{2}（2x+4x）•\frac{4}{3}x$]=108，
整理得：$y=\frac{9}{x}-\frac{5}{2}x$（x＞0），
（2）焊接主體框架所用鋼材為L=6（9x+$\frac{2}{3}x+\frac{4}{3}x$+y）=6（11x+$\frac{9}{x}-\frac{5}{2}x$）=6（$\frac{17}{2}x+\frac{9}{x}$）$≥6×2\sqrt{\frac{17}{2}x•\frac{9}{x}}=18\sqrt{34}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{17}{2}x=\frac{9}{x}$，即x=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$時(shí)等號成立．
∴當(dāng)x=$\frac{3\sqrt{34}}{17}$（m）時(shí)用料最�。�

點(diǎn)評 本題考查柱、錐、臺體的體積，考查簡單的建模思想方法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．