Question

已知函數f（x）=2^|x|，g（x）=f（x-

k2

2

），若?x₁∈[k，k+1]，x₂∈[k+3，k+7]，使得g（x₁）=g（x₂），則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：函數的性質及應用

分析：本題可能利用函數f（x）的解析式求出函數g（x）的解析式，再分類討論得到函數g（x）的單調性，利用函數在兩個區(qū)間[k，k+1]和[k+3，k+7]上的值域的交集非空，得到到相應的不等關系，解不等式組，得到本題結論．

解答： 解：∵函數f（x）=2^|x|，g（x）=f（x-

k2

2

），
∴g（x）=2 |x-

k2

2

|．
∴當x＜

k2

2

時，函數g（x）=2 

k2

2

-x，在區(qū)間（-∞，

k2

2

）單調遞減，
當x≥

k2

2

時，函數g（x）=2 x-

k2

2

，在區(qū)間[

k2

2

，+∞）單調遞增．
∵若?x₁∈[k，k+1]，x₂∈[k+3，k+7]，使得g（x₁）=g（x₂），
∴

k+1≤ k2 2 k+3≥ k2 2

，
∴1-

7

≤k≤1-

3

或1+

3

≤k≤1+

7

．①
若?x₁∈[k，k+1]，x₂∈[k+3，k+7]，使得g（x₁）≠g（x₂），
則有：g（k+1）＞g（k+7）或g（k）＜g（k+3），
即2 

k2

2

-(k+1)＞2k+7-

k2

2

或2

k2

2

-k＜2k+3-

k2

2

，
∴k²-2k-8＞0或k²-2k-3＜0，
∴k＜-2或-1＜k＜3或k＞4．
∵若?x₁∈[k，k+1]，x₂∈[k+3，k+7]，使得g（x₁）=g（x₂），
∴-2≤k≤-1或3≤k≤4．②
由①②得：1-

7

≤k≤-1或3≤k≤1+

7

．
∴實數k的取值范圍是：1-

7

≤k≤-1或3≤k≤1+

7

．

點評：本題考查了絕對值問題、函數的單調性、函數的值域、集合的交集等知識，本題思維難度較大，計算量較大，屬于難題．