Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a_n•a_n+1=λ•2ⁿ．，n∈N^*，λ≠0，且a₁=

2

．
（1）求證：

an+2

an

=2；
（2）是否存在λ，使得{a_n}為等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由已知的數(shù)列遞推式得到an+1•an+2=λ•2n+1，與原數(shù)列遞推式作比后得答案；
（2）由（1）知數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所有偶數(shù)項構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，再由

a2

a1

=±

2

求得λ值，即可說明存在λ=±

2

，使得{a_n}為等比數(shù)列．

解答： （1）證明：∵a_n•a_n+1=λ•2ⁿ，
∴an+1•an+2=λ•2n+1，
則

an+2

an

=

λ•2n+1

λ•2n

=2；
（2）解：由

an+2

an

=

λ•2n+1

λ•2n

=2，
可知數(shù)列{a_n}的所有奇數(shù)項構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，所有偶數(shù)項構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列，
若存在λ，使得{a_n}為等比數(shù)列，則

a2

a1

=±

2

，
由已知，a_n•a_n+1=λ•2ⁿ，a₁=

2

，得
a2=

λ•21

a1

=

2λ

2

=

2

λ．
∴

a2

a1

=

2 λ

2

=λ=±

2

．
∴存在λ=±

2

，使得{a_n}為等比數(shù)列．

點評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，關(guān)鍵是對已知數(shù)列遞推式的理解及應(yīng)用，是中檔題．