Question

設函數y=f（x），x∈R對任意的實數m、n都有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）在你學過的函數中，有沒有滿足上述條件的函數？若有，試舉一例；
（2）試探求f（0）的值，并寫出過程；
（3）求證：當x＜0時，f（x）＞1；
（4）試猜想f（x）的單調性，并證明你的結論．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數單調性的判斷與證明

專題：函數的性質及應用

分析：本題（1）根據已了解的函數性質，選擇適合條件的函數，得到本題結論；（2）用特殊值法，代入特殊值，結合題中條件，求出f（0）的值；（3）利用題中條件，將x＜0轉化為x＞0的情況，再加以研究，可證明本題結論；（4）利用單調性定義，結合題中條件，給出f（x）的單調性的證明，得到本題結論．

解答： 解：（1）例如：f（x）=(

1

2

)x，滿足條件：對任意的實數m、n都有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（2）結論：f（0）=1．探求過程如下．
∵對任意的實數m、n都有f（m+n）=f（m）•f（n），
∴取m=0，n=

1

2

，則有：f(

1

2

+0)=f(0)•f(

1

2

)，
∴f(

1

2

)[1-f(0)]=0．
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴0＜f(

1

2

)＜1，
∴f（0）=1．
（3）當x＜0時，-x＞0，0＜f（-x）＜1．
在f（m+n）=f（m）•f（n）中，取m=x，n=-x，
得到：f（x）•f（-x）=f（0）=1，
f(x)=

1

f(-x)

＞1，
即當x＜0時，f（x）＞1．
（4）猜想：函數f（x）在R上單調遞減．以下證明：
證明：∵當x＜0時，f（x）＞1，
當x=0時，f（x）=1，
當x＞0時，0＜f（x）＜1．
∴當x∈R時，f（x）＞0．
在R上任取兩個自變量的值x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=f[x₁+（x₂-x₁）]-f（x₁）
=f（x₁）•f（x₂-x₁）-f（x₁）
=[f（x₂-x₁）-1]f（x₁）．
∵x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0．
∵當x＞0時，0＜f（x）＜1，
∴f（x₂-x₁）＜1，
∵f（x₁）＞0，
∴[f（x₂-x₁）-1]f（x₁）＜0．
∴f（x₂）＜f（x₁）．
∴函數f（x）在R上單調遞減．

點評：本題考查了函數的單調性、特殊值法、抽象函數的研究，本題難度適中，屬于中檔題．