【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等.過點(diǎn)F的直線交橢圓于M,N兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)當(dāng)MF=2FN時(shí),求直線的方程;
(3)若直線上存在點(diǎn)P滿足PM·PN=PF2,且點(diǎn)P在橢圓外,證明:點(diǎn)P在定直線上.
【答案】(1);(2);(3)見解析.
【解析】
(1)由題意,b=,再由點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等,得a+c=,結(jié)合隱含條件解得a=2,c=1,則橢圓方程可求;
(2)當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),求得MF=3NF,不合題意;當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程,化為關(guān)于y的一元二次方程,由根與系數(shù)的關(guān)系及MF=2FN求得m值,則直線方程可求;
(3)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),設(shè)P(x0,y0),由PMPN=PF2,求得,當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),由(2)中的根與系數(shù)的關(guān)系及PMPN=PF2,求得,代入直線方程得,由此可得點(diǎn)P在定直線上.
(1)設(shè)橢圓的截距為2c,由題意,b=,
由點(diǎn)F到左頂點(diǎn)的距離和到右準(zhǔn)線的距離相等,得a+c=,
又a2=b2+c2,聯(lián)立解得a=2,c=1.
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
(2)當(dāng)直線l與x軸重合時(shí),M(﹣2,0),N(2,0),此時(shí)MF=3NF,不合題意;
當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí),設(shè)直線l的方程為x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),
聯(lián)立,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0.△=36m2+36(m2+4)>0.
①,②,由MF=2FN,得y1=﹣2y2③,
聯(lián)立①③得,,
代入②得,,解得.∴直線方程為;
(3)當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),則M(2,0),N(﹣2,0),設(shè)P(x0,y0),
則PMPN=|(x0﹣2)(x0+2)|,∵點(diǎn)P在橢圓外,∴x0﹣2,x0+2同號(hào),
又,解得.
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí),由(2)知,,
.
∵點(diǎn)P在橢圓外,∴y1﹣y0,y2﹣y0同號(hào),
∴PMPN=(1+m2)(y1﹣y0)(y2﹣y0)=
,
整理得,代入直線方程得.∴點(diǎn)P在定直線上.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面上給定相異兩點(diǎn)A,B,設(shè)P點(diǎn)在同一平面上且滿足,當(dāng)且時(shí),P點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,這個(gè)軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn),故我們稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓,現(xiàn)有雙曲線(,),A,B為雙曲線的左、右頂點(diǎn),C,D為雙曲線的虛軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,面積的最大值為,面積的最小值為4,則雙曲線的離心率為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在正四棱錐P-ABCD中,側(cè)棱與底面成角為60°,且側(cè)面積為,則四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球的表面積為( )
A.B.
C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線()經(jīng)過點(diǎn),直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)、,直線交軸于,直線交軸于.
(1)若直線過點(diǎn),求直線的斜率的取值范圍;
(2)若直線過點(diǎn),設(shè),,,求的值;
(3)若直線過拋物線的焦點(diǎn),交軸于點(diǎn),,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱,兩個(gè)相鄰的最高點(diǎn)之間的距離為.
(1)求的解析式;
(2)在△中,若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)若方程f(x)=m有4個(gè)不同的實(shí)根x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,則()(x3+x4)=( 。
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為,是橢圓上一點(diǎn),軸,.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,為坐標(biāo)原點(diǎn),且,求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在合作學(xué)習(xí)小組的一次活動(dòng)中,甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)被隨機(jī)地分配承擔(dān),,,四項(xiàng)不同的任務(wù),每個(gè)同學(xué)只能承擔(dān)一項(xiàng)任務(wù).
(1)若每項(xiàng)任務(wù)至少安排一位同學(xué)承擔(dān),求甲、乙兩人不同時(shí)承擔(dān)同一項(xiàng)任務(wù)的概率;
(2)設(shè)這五位同學(xué)中承擔(dān)任務(wù)的人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,.
(1)若為真命題,為假命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若“”是“”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍..
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