【題目】已知函數(shù)(其中為自然對數(shù)的底, )的導(dǎo)函數(shù)為.
(1)當(dāng)時,討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù);
(2)設(shè)點, 是函數(shù)圖象上兩點,若對任意的,割線的斜率都大于,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】試題分析:(1)由 ,記,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸的交點個數(shù)問題;(2)對任意的,割線的斜率都大于,即,記 ,研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.
試題解析:
(1)時,由 ,記,
,當(dāng)時, ,當(dāng)時, ,所以當(dāng)時, 取得極小值,
①當(dāng)即時,函數(shù)在區(qū)間上無零點;
②當(dāng)即時,函數(shù)在區(qū)間上有一個零點;
③當(dāng)即時,函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點;
(2),
, ,
依題意:對任意的,都有,
即,
記 , ,
記,則. 記,
則,
所以時, 遞增,所以,
①當(dāng)即時, ,即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,得到,從而在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以恒成立;
②當(dāng)即時,因為時, 遞增,所以,
所以存在,使得時, 即,所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以時, 即,
所以時, 在區(qū)間上單調(diào)遞減,所以時, ,從而不恒成立。綜上:實數(shù)的取值范圍是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大型活動即將舉行,為了做好接待工作,組委會招募了名男志愿者和名女志愿者,調(diào)查發(fā)現(xiàn),男、女志愿者中分別有人和人喜愛運動,其余人不喜愛運動.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下列聯(lián)表:
喜愛運動 | 不喜愛運動 | 總計 | |
男志愿者 | |||
女志愿者 | |||
總計 |
(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有℅的把握認(rèn)為性別與喜愛運動有關(guān)?
下面的臨界值表供參考:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(參考公式: ,其中)
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(Ⅰ)解不等式: ;
(Ⅱ)當(dāng)時,函數(shù)的圖象與軸圍成一個三角形,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a=1時,若關(guān)于的不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的長軸與短軸之和為6,橢圓上任一點到兩焦點, 的距離之和為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線: 與橢圓交于, 兩點, , 在橢圓上,且, 兩點關(guān)于直線對稱,問:是否存在實數(shù),使,若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點C是圓心為O半徑為1的半圓弧上從點A數(shù)起的第一個三等分點,是直徑,,直線平面.
(1)證明:;
(2)若M為的中點,求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線過點,圓:.
(1)當(dāng)直線與圓相切時,求直線的一般方程;
(2)若直線與圓相交,且弦長為,求直線的一般方程.
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