Question

已知二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的兩個(gè)根分別屬于區(qū)間（-1，0）和（0，2），則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：如果二次方程（m-2）x²+3mx+1=0的兩個(gè)根分別屬于（-1，0）和（0，2），則對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)在區(qū)間（-1，0）和（0，2）各有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，f（-1）•f（0）＜0且f（0）•f（2）＜0，解不等式組，即可求出滿足條件m的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=（m-2）x²+3mx+1，則f（x）=0的兩個(gè)根分別屬于（-1，0）和（1，2）．
所以

f(-1)•f(0)＜0 f(2)•f(0)＜0

，
即

-2m-1＜0 10m-7＜0

，
∴解得-

1

2

＜m＜

7

10

，
故m的取值范圍是-

1

2

＜m＜

7

10

，
故答案為：-

1

2

＜m＜

7

10

點(diǎn)評(píng)：連續(xù)函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上，如果f（a）•f（b）＜0，則函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）必然存在零點(diǎn)．如果方程在某區(qū)間上有且只有一個(gè)根，可根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理進(jìn)行解答，但要注意該定理只適用于開區(qū)間的情況，如果已知條件是閉區(qū)間或是半開半閉區(qū)間，我們要分類討論．