Question

1．已知函數(shù)f（x）=|x-2|+|3x+a|．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）≥5；
（2）若存在x₀滿足f（x₀）+2|x₀-2|＜3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值帶入f（x），通過(guò)討論x的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出（f（x₀）+2|x₀-2|）_min＜3，即|a+6|＜3，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=|x-2|+|3x+1|，
①當(dāng)x≥2時(shí)，不等式等價(jià)于x-2+3x+1≥5，解得$x≥\frac{3}{2}$，即x≥2；
②當(dāng)$-\frac{1}{3}＜x＜2$時(shí)，不等式等價(jià)于2-x+3x+1≥5，解得x≥1，即1≤x＜2；
③當(dāng)$x≤-\frac{1}{3}$時(shí)，不等式等價(jià)于2-x-3x-1≥5，解得x≤-1，即x≤-1．
綜上所述，原不等式的解集為{x|x≤-1或x≥1}．
（2）由f（x₀）+2|x₀-2|＜3，即3|x₀-2|+|3x₀+a|＜3，
得|3x₀-6|+|3x₀+a|＜3，
又|3x₀-6|+|3x₀+a|≥|（3x₀-6）-（3x₀+a）|=|6+a|，
∴（f（x₀）+2|x₀-2|）_min＜3，即|a+6|＜3，
解得-9＜a＜-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想以及絕對(duì)值的性質(zhì)，是一道中檔題．